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第2問

実数を係数とする多項式 PP で、a,b,ca,b,c を満たすすべての実数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 に対して P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c). を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 2/4: スケーリング族を代入する
前のステップ次のステップ
(a,b,c)=(6t,3t,−2t): ab+bc+ca=18t2−6t2−12t2=0; a−b=3t, b−c=5t, c−a=−8t, a+b+c=7t(a,b,c)=(6t,3t,-2t):\ ab+bc+ca=18t^2-6t^2-12t^2=0;\ a-b=3t,\ b-c=5t,\ c-a=-8t,\ a+b+c=7t
詳しい解説

任意の実数 tt に対して、三つ組 (a,b,c)=(6t,3t,−2t)(a,b,c)=(6t,3t,-2t) は ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 により 18t2−6t2−12t2=018t^2-6t^2-12t^2=0 を満たす。関数方程式に代入し、PP が偶関数であること（したがって P(−8t)=P(8t)P(-8t)=P(8t)）を用いると、方程式を満たす任意の P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t)P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t) に対する tt の恒等式 PP が得られる。