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第2問

実数を係数とする多項式 PP で、a,b,ca,b,c を満たすすべての実数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 に対して P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c). を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 3/4: 主係数を用いて次数を評価する
前のステップ次のステップ
deg⁡P=n≥6, leading coeff cn≠0  ⟹  cn(3n+5n+8n)=2cn7n  ⟹  (8/7)n≥2 for n≥6⇒contradiction\deg P=n\ge6,\ \text{leading coeff }c_n\ne0 \implies c_n(3^n+5^n+8^n)=2c_n7^n \implies (8/7)^n\ge2 \text{ for } n\ge6 \Rightarrow \text{contradiction}
詳しい解説

PP が恒等的には零ではなく、次数 nn、主係数 cn≠0c_n\ne0 を持つとする。tnt^n の両辺で P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t)P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t) の係数を比較すると 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n を得る。PP は偶関数で P(0)=0P(0)=0 なので nn は偶数である。n≥6n\ge6 のとき、(8/7)n(8/7)^n はすでに 22 を超えるので 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n は n≥6n\ge6 を強制する。直接確認すると n=2n=2 と n=4n=4 はいずれも 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n を満たすので、nn は 22 または 44 のいずれかである。