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第2問

実数を係数とする多項式 PP で、a,b,ca,b,c を満たすすべての実数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 に対して P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c). を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 4/4: そのような多項式がすべて成り立つことを確認する
前のステップ次のステップ
P(x)=βx2+αx4 (deg⁡P≤4, P(0)=0, P even)  ⟹  P(a)+P(b)+P(c)=β⋅2s2+α⋅2s4=2P(s) whenever a+b+c=s, ab+bc+ca=0P(x)=\beta x^2+\alpha x^4\ (\deg P\le4,\ P(0)=0,\ P\text{ even}) \implies P(a)+P(b)+P(c)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4=2P(s)\ \text{whenever } a+b+c=s,\ ab+bc+ca=0
詳しい解説

ステップ1と3より P(x)=βx2+αx4P(x)=\beta x^2+\alpha x^4 が実定数 α,β\alpha,\beta で成り立つ。逆に a,b,ca,b,c を満たす ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 を取り、x=a−b,y=b−c,z=c−a,s=a+b+cx=a-b,y=b-c,z=c-a,s=a+b+c とおくと x+y+z=0x+y+z=0 かつ x2+y2+z2=2s2x^2+y^2+z^2=2s^2 となる。すると xy+yz+zx=−(x2+y2+z2)/2=−s2xy+yz+zx=-(x^2+y^2+z^2)/2=-s^2 より x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2−2(xy+yz+zx)2=2s4x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(xy+yz+zx)^2=2s^4 を得る。また x4+y4+z4=2s4x^4+y^4+z^4=2s^4 より P(x)+P(y)+P(z)=β⋅2s2+α⋅2s4P(x)+P(y)+P(z)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4 を得る。よって P(x)+P(y)+P(z)=β⋅2s2+α⋅2s4P(x)+P(y)+P(z)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4 は 2P(s)2P(s) に等しく、この形は常に成り立つ。