MathLabs

第3問

六つの単位正方形からなる図形で、三個からなる一列と四個からなる一列が一つの角の正方形を共有し、さらにその行の遠い端にもう一つの正方形が付け加わったもの（またはこれを回転・鏡映して得られる図形）を hook と定義する。そのような hook で隙間も重なりもなく敷き詰められ、hook のどの部分も長方形の外に出ない m×nm\times n 長方形をすべて求めよ。
ステップ 4/6: hook をその穴によって対にする
前のステップ次のステップ
pair each hook withthe one filling its L-hole  ⟹  hooks come in pairs forming one of two 12-cell tiles\text{pair each hook \quad\text{with}\quad the one filling its L-hole} \implies \text{hooks come in pairs forming one of two }12\text{-cell tiles}
詳しい解説

hook の唯一の凹んだマスを内側のマスと呼ぶ。一つの hook H を固定し、その六マスを H={(0,0),(0,1),(0,2),(1,2),(2,1),(2,2)}H=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,2),(2,1),(2,2)\} と置く。内側のマスは 3×33\times3 の外接枠の中央の欠けたマスである。そのマスを覆う hook は、H の回転または鏡映の平行移動で、しかも H と交わってはならない。八つの向きを列挙して内側のマスを含むように平行移動すると、相互に対応する二つの配置（ある配置とその鏡映）だけが残り、どちらでも第二の hook の内側のマスは H の六マスの一つになる。したがって H の内側のマスを覆う hook は H と対になり、各 hook はちょうど一つの対に属する。この二つの合併が、出典の図にある二種類の 12 マス tile であり、座標の確認から第三の向きは生じない。