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第3問

六つの単位正方形からなる図形で、三個からなる一列と四個からなる一列が一つの角の正方形を共有し、さらにその行の遠い端にもう一つの正方形が付け加わったもの（またはこれを回転・鏡映して得られる図形）を hook と定義する。そのような hook で隙間も重なりもなく敷き詰められ、hook のどの部分も長方形の外に出ない m×nm\times n 長方形をすべて求めよ。
ステップ 6/6: 両方の整除条件を結論づける
前のステップ次のステップ
applying Step 5 to both 6a×2b-type sub-rectangles  ⟹  3∣m or 3∣n,4∣m or 4∣n\text{applying Step 5 to both }6a\times2b\text{-type sub-rectangles} \implies 3\mid m\text{ or }3\mid n,\quad 4\mid m\text{ or }4\mid n
詳しい解説

対に分けることから 12∣mn12\mid mn が得られる。したがって m,nm,n の少なくとも一方は 33 の倍数である。残りは一辺が 44 の倍数であることを示すことである。背理法で 4∤m4\nmid m かつ 4∤n4\nmid n と仮定する。4∣mn4\mid mn なので両辺は偶数であり、必要なら交換して、33 の倍数である辺を m=6am=6a、もう一方を n=2bn=2b と書ける。4∤m,n4\nmid m,n から a,ba,b はともに奇数である。したがって 12 マス tile の個数は mn/12=abmn/12=ab で奇数になる。しかしステップ5と、行と列を交換した同じ議論により、二種類の tile の個数はともに偶数であるから、その合計も偶数でなければならず矛盾する。よって 4∣m4\mid m または 4∣n4\mid n であり、面積の結論と合わせて 3∣m3\mid m または 3∣n3\mid n、かつ 4∣m4\mid m または 4∣n4\mid n が従う。