第4問

n\ge 3

を整数とし、

t_1,t_2,\dots,t_n

を

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

を満たす正の実数とする。

t_i,t_j,t_k

を満たすすべての

i,j,k

に対して、

1\le i<j<k\le n

が三角形の三辺の長さとなることを示せ。

ステップ 1/4: 対角項と対称な対に展開する

前のステップ次のステップ

\left(\sum_{r=1}^n t_r\right)\left(\sum_{s=1}^n \frac{1}{t_s}\right)=n+\sum_{1\le r<s\le n}\left(\frac{t_r}{t_s}+\frac{t_s}{t_r}\right)

詳しい解説

任意の三つの添字 $i<j<k$ を固定する。対称性によりこれらを $1,2,3$ と番号付け直し、 $(t_1,t_2,t_3)=(a,b,c)$ となるように $a\le b\le c$ とおいてよい。与えられた不等式の右辺の積を展開すると、和が $n$ となる $t_r/t_r=1$ 個の対角項 $n$ と、 $\binom{n}{2}$ を満たす $t_r/t_s+t_s/t_r$ 個の順序なし対 $1\le r<s\le n$ とに分かれる。