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第4問

n≥3n\ge 3 を整数とし、t1,t2,…,tnt_1,t_2,\dots,t_n を n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn).n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right). を満たす正の実数とする。ti,tj,tkt_i,t_j,t_k を満たすすべての i,j,ki,j,k に対して、1≤i<j<k≤n1\le i<j<k\le n が三角形の三辺の長さとなることを示せ。
ステップ 3/4: 三変数不等式を s=(a+b)/cs=(a+b)/c に圧縮する
前のステップ次のステップ
ab+ba≥2  ⟹  a+bc+ca+cb<5;1a+1b≥4a+b  ⟹  a+bc+4ca+b<5\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \implies \frac{a+b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}<5;\quad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \implies \frac{a+b}{c}+\frac{4c}{a+b}<5
詳しい解説

相加相乗平均より a/b+b/a≥2a/b+b/a\ge 2 なので、ステップ2から (a+b)/c+c(1/a+1/b)<5(a+b)/c + c(1/a+1/b) < 5 を得る。コーシー・シュワルツ（または相加調和平均）により 1/a+1/b≥4/(a+b)1/a+1/b\ge 4/(a+b) であるから、c>0c>0 を掛けると (a+b)/c+4c/(a+b)<5(a+b)/c + 4c/(a+b) < 5 となる。s=(a+b)/c>0s=(a+b)/c>0 とおくと、この不等式は s+4/s<5s + 4/s < 5 となる。