第4問

n\ge 3

を整数とし、

t_1,t_2,\dots,t_n

を

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

を満たす正の実数とする。

t_i,t_j,t_k

を満たすすべての

i,j,k

に対して、

1\le i<j<k\le n

が三角形の三辺の長さとなることを示せ。

ステップ 4/4:

s

の二次式を因数分解して

a+b>c

を得る

前のステップ次のステップ

s+\frac{4}{s}<5 \iff s^2-5s+4<0 \iff (s-1)(s-4)<0 \implies s>1 \implies a+b>c

詳しい解説

$s>0$ なので、 $s+4/s<5$ の両辺に $s$ を掛けると $s^2-5s+4<0$ となり、これは $(s-1)(s-4)<0$ と因数分解できる。したがって $1<s<4$ 、特に $s>1$ すなわち $a+b>c$ が成り立つ。 $a\le b\le c$ と並べておいたので、残る二つの三角不等式 $a+c>b$ と $b+c>a$ は自動的に成り立ち、 $a,b,c$ は三角形の三辺の長さとなる。