MathLabs

第5問

凸四角形 ABCDABCD において、対角線 BDBD は角 ∠ABC\angle ABC も角 ∠CDA\angle CDA も二等分しない。点 PP は ABCDABCD の内部にあり、 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. を満たす。ABCDABCD が円に内接する四角形であることと AP=CPAP=CP であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 1/5: △PBD\triangle PBD における等角共役
前のステップ次のステップ
P∉BD,∠PBC=∠DBA, ∠PDC=∠BDA  ⟹  A,C isogonal conjugates in △PBD  ⟹  ∠APB+∠CPD=180∘P\notin BD,\quad \angle PBC=\angle DBA,\ \angle PDC=\angle BDA \implies A,C\text{ isogonal conjugates in }\triangle PBD \implies \angle APB+\angle CPD=180^\circ
詳しい解説

二つの非二等分条件から P∉BDP\notin BD が従う。P が BD 上なら第一条件は ∠PBC=∠DBC\angle PBC=\angle DBC となり、BD が B の角を二等分してしまう。したがって △PBD\triangle PBD は非退化である。第一条件は B で BA と BC が等角であること、第二条件は D で DA と DC が等角であることを示す。二組を角の二等分線で反射する三本のセバ線の初等的等角定理により、PA,PCPA,PC は P で等角となる。P は内部点なので ∠APB+∠CPD=180∘\angle APB+\angle CPD=180^\circ である。