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第5問

凸四角形 ABCDABCD において、対角線 BDBD は角 ∠ABC\angle ABC も角 ∠CDA\angle CDA も二等分しない。点 PP は ABCDABCD の内部にあり、 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. を満たす。ABCDABCD が円に内接する四角形であることと AP=CPAP=CP であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 2/5: ∠APB+∠CPD=180∘\angle APB + \angle CPD = 180^\circ を △PAC\triangle PAC を用いて書き換える
前のステップ次のステップ
∡APB+∡CPD=0  ⟺  ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0 \iff \measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB
詳しい解説

180∘180^\circ を法とする有向角を用いる。ステップ1より ∡APB+∡CPD=0\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0。B と D で与えられた角を補うと ∡PBA=∡CBD\measuredangle PBA=\measuredangle CBD および ∡PDC=∡ADB\measuredangle PDC=\measuredangle ADB である。三角形 ABP と CDP で P の角を分解すると ∡APB=∡PBA+∡BAP=∡CBD+∡BAC−∡PAC\measuredangle APB=\measuredangle PBA+\measuredangle BAP=\measuredangle CBD+\measuredangle BAC-\measuredangle PAC、∡CPD=∡PDC+∡DCP=∡ADB+∡DCA+∡ACP\measuredangle CPD=\measuredangle PDC+\measuredangle DCP=\measuredangle ADB+\measuredangle DCA+\measuredangle ACP を得る。加えてステップ1を使えば ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB、従って ∡PAC=∡ACP\measuredangle PAC=\measuredangle ACP は四角の和が零であることと同値である。