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第5問

凸四角形 ABCDABCD において、対角線 BDBD は角 ∠ABC\angle ABC も角 ∠CDA\angle CDA も二等分しない。点 PP は ABCDABCD の内部にあり、 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. を満たす。ABCDABCD が円に内接する四角形であることと AP=CPAP=CP であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 複素複比を用いて四つの角の条件を解釈する
前のステップ次のステップ
∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB=0  ⟺  z+1z∈R for z=(a−b)(c−d)(b−c)(a−d)  ⟺  ABCD cyclic or AB⋅CD=BC⋅DA\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB=0 \iff z+\frac{1}{z}\in\mathbb{R}\ \text{for }z=\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)} \iff ABCD\text{ cyclic or }AB\cdot CD=BC\cdot DA
詳しい解説

頂点を複素座標 a,b,c,da,b,c,d に置き、z=(a−b)(c−d)(b−c)(a−d)z=\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)} と定める。直接展開すると (a−b)(c−d)+(b−c)(a−d)=(a−c)(b−d)(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=(a-c)(b-d) なので、z+1=(a−c)(b−d)(b−c)(a−d)z+1=\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)} である。偏角が ∡BAC,∡CBD,∡DCA,∡ADB\measuredangle BAC,\measuredangle CBD,\measuredangle DCA,\measuredangle ADB である四つの複素商の積は、実数符号を除けば (z+1)2/z=z+2+1/z(z+1)^2/z=z+2+1/z となる。よって四角の和が 180∘180^\circ を法として 00 であることと z+1/zz+1/z が実数であることは同値である。z=x+iyz=x+iy と書くとこの式の虚部は y(1−1/∣z∣2)y(1-1/|z|^2) だから、これは z∈Rz\in\mathbb R または ∣z∣=1|z|=1 のとき、またそのときに限り成り立つ。前者は通常の複比による A,B,C,DA,B,C,D の共円条件であり、後者は ∣a−b∣∣c−d∣=∣b−c∣∣a−d∣|a-b||c-d|=|b-c||a-d|、すなわち AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA という準調和条件である。