MathLabs

第5問

凸四角形 ABCDABCD において、対角線 BDBD は角 ∠ABC\angle ABC も角 ∠CDA\angle CDA も二等分しない。点 PP は ABCDABCD の内部にあり、 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. を満たす。ABCDABCD が円に内接する四角形であることと AP=CPAP=CP であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 準調和であることと PP が ACAC 上にあることは同値
前のステップ次のステップ
X:=AC∩BD,Y,Y′:=isogonals of BD in ∠B,∠D on AC  ⟹  AX⋅AYCX⋅CY=BA2BC2, AX⋅AY′CX⋅CY′=DA2DC2  ⟹  (AB⋅CD=BC⋅DA  ⟺  P∈AC)X:=AC\cap BD,\quad Y,Y':=\text{isogonals of }BD\text{ in }\angle B,\angle D\text{ on }AC \implies \frac{AX\cdot AY}{CX\cdot CY}=\frac{BA^2}{BC^2},\ \frac{AX\cdot AY'}{CX\cdot CY'}=\frac{DA^2}{DC^2} \implies (AB\cdot CD=BC\cdot DA \iff P\in AC)
詳しい解説

X=AC∩BDX=AC\cap BD とし、B からの等角半直線と AC の交点を Y とする。正弦定理から AXCX=ABsin⁡∠ABXBCsin⁡∠XBC\frac{AX}{CX}=\frac{AB\sin\angle ABX}{BC\sin\angle XBC} を得て、等角性により二つの正弦を交換すると AYCY=ABsin⁡∠XBCBCsin⁡∠ABX\frac{AY}{CY}=\frac{AB\sin\angle XBC}{BC\sin\angle ABX} となる。掛け合わせれば AX⋅AYCX⋅CY=BA2BC2\frac{AX\cdot AY}{CX\cdot CY}=\frac{BA^2}{BC^2} である。D からの対応する等角半直線と AC の交点を Y' とする。同じ計算で AX⋅AY′CX⋅CY′=DA2DC2\frac{AX\cdot AY'}{CX\cdot CY'}=\frac{DA^2}{DC^2} となる。有向比 AT/CTAT/CT は AC 上の点 T を一意に定めるので、Y と Y' の一致は右辺の一致、すなわち AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA と同値である。P は二本の等角半直線の交点なので、これは P∈ACP\in AC と同値である。