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第5問

凸四角形 ABCDABCD において、対角線 BDBD は角 ∠ABC\angle ABC も角 ∠CDA\angle CDA も二等分しない。点 PP は ABCDABCD の内部にあり、 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. を満たす。ABCDABCD が円に内接する四角形であることと AP=CPAP=CP であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 二つの場合（P∉ACP \notin AC と P∈ACP \in AC）を仕上げる
前のステップ次のステップ
Case P∉AC: PA=PC  ⟺  ∡PAC=∡ACP  ⟺  ABCD cyclic;Case P∈AC: symmedian midpoint property  ⟹  (PA=PC  ⟺  ABCD cyclic)\text{Case }P\notin AC:\ PA=PC\iff\measuredangle PAC=\measuredangle ACP\iff ABCD\text{ cyclic};\quad \text{Case }P\in AC:\text{ symmedian midpoint property}\implies (PA=PC\iff ABCD\text{ cyclic})
詳しい解説

第一の場合は P∉ACP\notin AC とする。このとき三角形 △PAC\triangle PAC は非退化で、等長条件 PA=PCPA=PC は底角条件 ∡PAC=∡ACP\measuredangle PAC=\measuredangle ACP と同値である。ステップ2、3はこれを共円・準調和の二分法に帰着し、ステップ4が準調和分岐を除くので ABCDABCD は共円となる。第二の場合は P∈ACP\in AC とする。ステップ4より AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。共円ならこれは DA/DC=BA/BCDA/DC=BA/BC であり、△ABC\triangle ABC における BDBD の類似中線条件である。その等角線は中線だから P は中点となり、等長条件が従う。逆に等長条件から P は中点で、等角関係から BD は類似中線である。D′≠BD'\ne B をその類似中線と外接円とのもう一つの交点とすれば D′A/D′C=BA/BCD'A/D'C=BA/BC、準調和関係も D に同じ比を与える。アポロニウス円と B を通る直線の交点は B と D' の二つだけなので D=D′D=D'、従って ABCDABCD は共円である。