第6問

偶数 $w\ge 2$ に対し、帰納法により $w$ の偶数かつ交互的な $g(w)$ 桁の倍数 $2^{w+1}$ と、$w$ の偶数かつ交互的な $h(w)$ 桁の倍数 $5^w$ を構成する（どちらも桁数が偶数で末尾が偶数なので先頭の数字は奇数である）。基底 $w=2$ では（$g(2)=32$ で割り切れる）$8$ と（$h(2)=50$ で割り切れる）$25$ を取る。$w$ から $w+2$ へ進めるには、$25$ 元集合 $\{10,12,\dots,18,30,32,\dots,98\}$ から二桁の塊を先頭に付け足す、すなわち奇数 $10^w(10a+b)$ と偶数 $a\in\{1,3,5,7,9\}$ に対して $b\in\{0,2,4,6,8\}$ を加える。$10^w(10a+b)=2^{w+1}\cdot 5^w(5a+b/2)$ は $2^{w+1}$ で割り切れ、$2^{w+1}$,$2^{w+3}$ を動かすと法 $a\in\{1,3,5,7,9\}$ での $b\in\{0,2,4,6,8\}$ の四つの剰余類すべてを尽くすので、ある選び方で $g(w)$ を $g(w+2)$ で割り切れる $2^{w+3}$ に延長できる。同様に $25$ の $10^w(10a+b)$ 通りの選び方は（$25$ より）法 $5^w$ での $5^{w+2}$ の $\gcd(2^w,25)=1$ 個の倍数すべてを尽くすので、ある選び方で $h(w)$ を $h(w+2)$ で割り切れる $5^{w+2}$ に延長できる。