第6問

十進表記において隣り合うどの二つの数字も偶奇が異なる正の整数を alternating と呼ぶ。alternating な倍数を持つ正の整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 4/5:

n

で割り切れない

20

を分類する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$n$ で割り切れない $20$ を分類する

n=2^u5^vm,\quad\gcd(m,10)=1,\quad20\nmid n\implies\begin{cases}n\mid2^{k+1}m& (v=0),\\ n\mid5^km&(u=0),\\ n\mid2\cdot5^km&(u=1,v\ge1),\end{cases}\quad k\ge2\text{ even}

詳しい解説

n=2^u5^vm（gcd(m,10)=1）と書く。20nmid n より、v=0、または u=0、または u=1,vge1 のいずれかである。十分大きい偶数 kge2 を選ぶと、三場合でそれぞれ n は 2^k+1m、5^km、2cdot5^km を割り切る。 $n=2^u5^vm$ $\gcd(m,10)=1$ $20\nmid n$ $v=0$ $u=0$ $u=1$ $v\ge1$ $k\ge2$ $n$ $2^{k+1}m$ $5^km$ $2\cdot5^km$