MathLabs

第6問

十進表記において隣り合うどの二つの数字も偶奇が異なる正の整数を alternating と呼ぶ。alternating な倍数を持つ正の整数 nn をすべて求めよ。
ステップ 5/5: 先頭と末尾をつないで三つの族すべてを仕上げる
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ざっくり言うと

先頭と末尾をつないで三つの族すべてを仕上げる

10kf ⁣(−10−kg(k) mod m)+g(k),10kf ⁣(−10−kh(k) mod m)+h(k)10^k f\!\left(-10^{-k}g(k)\bmod m\right)+g(k),\quad 10^k f\!\left(-10^{-k}h(k)\bmod m\right)+h(k)
詳しい解説

ステップ3の偶数桁で交互的な先頭 f(b)f(b) を用いる。第一族には g(k)g(k) を、他の二族には h(k)h(k) を末尾として連結する。選んだ剰余により連結数は mm で割り切れ、末尾が必要な 22 または 55 の因子を与える。先頭は偶数字で終わり、末尾は偶数桁で奇数の先頭を持つので、接続部分でも偶奇性は保たれる。nn は構成数の一つを割り切るため、すべての 20midn20 mid n が交互的な倍数を持つ。