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国際数学オリンピック
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2005年
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第1問
第1問
正三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
の辺上に六点を取る:
B
C
BC
B
C
上に
A
1
,
A
2
A_1, A_2
A
1
,
A
2
、
C
A
CA
C
A
上に
B
1
,
B
2
B_1, B_2
B
1
,
B
2
、
A
B
AB
A
B
上に
C
1
,
C
2
C_1, C_2
C
1
,
C
2
とし、これらが辺の長さの等しい凸六角形
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
A_1A_2B_1B_2C_1C_2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
の頂点をなすようにする。直線
A
1
B
2
A_1B_2
A
1
B
2
、
B
1
C
2
B_1C_2
B
1
C
2
、
C
1
A
2
C_1A_2
C
1
A
2
が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 1/6: 六角形を一周して閉じる
前のステップ
次のステップ
ざっくり言うと
閉じた六角形を一周して出発点に戻るということは、六つの辺ベクトルの和が消えることを意味する。
A
1
A
2
→
+
A
2
B
1
→
+
B
1
B
2
→
+
B
2
C
1
→
+
C
1
C
2
→
+
C
2
A
1
→
=
0
⃗
\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_1C_2}+\overrightarrow{C_2A_1}=\vec0
A
1
A
2
+
A
2
B
1
+
B
1
B
2
+
B
2
C
1
+
C
1
C
2
+
C
2
A
1
=
0
詳しい解説
この巡回順に並んだ六点は閉じた六角形をなすので、その六つの有向辺の和はゼロベクトルになる。
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