MathLabs

国際数学オリンピック · 2005年

問題

  1. 第1問正三角形 ABCABC の辺上に六点を取る: BCBC 上に A1,A2A_1, A_2、CACA 上に B1,B2B_1, B_2、ABAB 上に C1,C2C_1, C_2 とし、これらが辺の長さの等しい凸六角形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 の頂点をなすようにする。直線 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2、C1A2C_1A_2 が一点で交わることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問a1,a2,…a_1, a_2, \dots を、正の項と負の項をそれぞれ無限に含む整数列とする。任意の正の整数 nn に対して、a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n を nn で割った余りが nn 通りとも互いに異なるとする。このとき、すべての整数がこの数列にちょうど一回ずつ現れることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問x,y,z>0x, y, z > 0 が xyz≥1xyz\ge 1 を満たすとする。次を証明せよ。 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.解答: 1
  4. 第4問無限数列 an=2n+3n+6n−1, n≥1.a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. のすべての項と互いに素であるような正の整数をすべて求めよ。解答: 1
  5. 第5問ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。解答: 1
  6. 第6問66 問が出題された数学コンテストにおいて、どの二問の組についても、その両方を解いた参加者が全体の 25\frac25 より多かった。さらに、66 問すべてを解いた参加者はいなかった。このとき、ちょうど 55 問を解いた参加者が少なくとも 22 人いることを示せ。解答: 1