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第1問

正三角形 ABCABC の辺上に六点を取る: BCBC 上に A1,A2A_1, A_2、CACA 上に B1,B2B_1, B_2、ABAB 上に C1,C2C_1, C_2 とし、これらが辺の長さの等しい凸六角形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 の頂点をなすようにする。直線 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2、C1A2C_1A_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 2/6: 長さの等しい三辺が相殺する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正三角形の三方向を向く同じ長さのベクトルは、互いに 120∘120^\circ ずつ回転した関係にあり、その和は常にゼロになる。

A1A2→+B1B2→+C1C2→=0⃗\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\vec0
詳しい解説

線分 A1A2A_1A_2、B1B2B_1B_2、C1C2C_1C_2 はすべて同じ長さ（六角形の共通の辺の長さ）であり、それぞれ BCBC、CACA、ABAB に沿っている。これらの方向は正三角形 ABCABC の周りで順に 120∘120^\circ ずつ回転した関係にある。120∘120^\circ 回転で結ばれた同じ長さの三つのベクトルの和は 0⃗\vec0 になる。