MathLabs

第1問

正三角形 ABCABC の辺上に六点を取る: BCBC 上に A1,A2A_1, A_2、CACA 上に B1,B2B_1, B_2、ABAB 上に C1,C2C_1, C_2 とし、これらが辺の長さの等しい凸六角形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 の頂点をなすようにする。直線 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2、C1A2C_1A_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 3/6: 残り三辺の和もゼロになる
ざっくり言うと

合計がゼロのものから、和がゼロの三つ組を引くと、残りもまた和がゼロの三つ組になる。

A2B1→+B2C1→+C2A1→=0⃗\overrightarrow{A_2B_1}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_2A_1}=\vec0
詳しい解説

最初のステップの六項の和から前のステップの関係式を引くと、A2B1→+B2C1→+C2A1→=0⃗\overrightarrow{A_2B_1}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_2A_1}=\vec0 が残る。これら三つのベクトルも六角形の共通の長さを持つので、和がゼロになる同じ長さのベクトルとして、やはり順に 120∘120^\circ ずつ回転した関係にある。