MathLabs

第1問

正三角形 ABCABC の辺上に六点を取る: BCBC 上に A1,A2A_1, A_2、CACA 上に B1,B2B_1, B_2、ABAB 上に C1,C2C_1, C_2 とし、これらが辺の長さの等しい凸六角形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 の頂点をなすようにする。直線 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2、C1A2C_1A_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 4/6: 二つの交点を通る円
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ線分を同じ側から同じ角度で見る二点は、その両端点を通る一つの円周上にある。

∠A1DB1=∠A1CB1=60∘,D=C2A1∩A2B1\angle A_1DB_1=\angle A_1CB_1=60^\circ,\quad D=C_2A_1\cap A_2B_1
詳しい解説

D=C2A1∩A2B1D=C_2A_1\cap A_2B_1 とする。前のステップの 120∘120^\circ の関係から ∠A1DB1=60∘\angle A_1DB_1=60^\circ となり、∠A1CB1=60∘\angle A_1CB_1=60^\circ は単に正三角形の頂点 CC における角だからである。A1B1A_1B_1 を同じ側から同じ角度で見るので、A1,B1,C,DA_1,B_1,C,D は一つの円周上にある。