初めの二つの項が大きく離れていれば、その差自体が十分小さな nnn となり、両者の余りが衝突してしまう。
ある i<ji<ji<j に対し ∣ai−aj∣≥j|a_i-a_j|\ge j∣ai−aj∣≥j と仮定し、n=∣ai−aj∣≠0n=|a_i-a_j|\ne0n=∣ai−aj∣=0（前のステップより非零）とおく。すると i<j≤ni<j\le ni<j≤n なので両方の添字は [1,n][1,n][1,n] に属し、nnn の作り方から ai≡aj(modn)a_i\equiv a_j\pmod nai≡aj(modn) となる。これは a1,…,ana_1,\dots,a_na1,…,an が nnn で割った余りとして nnn 通り異なるという仮定に反する。よって i<ji<ji<j のとき常に ∣ai−aj∣<j|a_i-a_j|<j∣ai−aj∣<j である。