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第2問

a1,a2,…a_1, a_2, \dots を、正の項と負の項をそれぞれ無限に含む整数列とする。任意の正の整数 nn に対して、a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n を nn で割った余りが nn 通りとも互いに異なるとする。このとき、すべての整数がこの数列にちょうど一回ずつ現れることを証明せよ。
ステップ 4/5: 無限個の正負の項が無限の拡大を強いる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一度に一つの整数しか拡張しないブロックは、両方向に永遠に拡張し続けない限り、正の項と負の項を無限に含むことはできない。

n→∞ ⟹ {a1,…,an} grows without bound in both directionsn\to\infty\ \Longrightarrow\ \{a_1,\dots,a_n\}\ \text{grows without bound in both directions}
詳しい解説

前のステップより、各段階で {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} は nn 個の連続整数のブロックであり、nn が 11 増えるごとに左または右にちょうど一つの整数だけ拡張される。数列全体には正の項と負の項がそれぞれ無限に含まれるので、このブロックは n→∞n\to\infty のとき両方向に無限に広がらなければならない。