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第2問

a1,a2,…a_1, a_2, \dots を、正の項と負の項をそれぞれ無限に含む整数列とする。任意の正の整数 nn に対して、a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n を nn で割った余りが nn 通りとも互いに異なるとする。このとき、すべての整数がこの数列にちょうど一回ずつ現れることを証明せよ。
ステップ 5/5: すべての整数がちょうど一回現れる
∀m∈Z, ∃! n: an=m\forall m\in\mathbb Z,\ \exists!\,n:\ a_n=m
詳しい解説

拡大し続けるブロック {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} は最終的にすべての整数を含むので、任意の整数 mm はある項 ana_n に等しい。そして最初のステップより高々一つの項にしか等しくない。よってすべての整数はこの数列にちょうど一回現れる。