MathLabs

第3問

x,y,z>0x, y, z > 0 が xyz≥1xyz\ge 1 を満たすとする。次を証明せよ。 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
ステップ 1/5: 各項をより単純な分数と比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

元の項と、より扱いやすい分母を持つ項との差は、完全平方と非負量の積になるため、符号を誤ることは決してない。

x5−x2x5+y2+z2−x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)≥0\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)}\ge0
詳しい解説

直接計算すると二つの分数の差は x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)} に等しく、x,y,z>0x,y,z>0 のとき分子・分母ともに非負である。したがって xyz≥1xyz\ge1 を用いずとも、任意の x,y,z>0x,y,z>0 に対して x5−x2x5+y2+z2≥x5−x2x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)} が成り立つ。