MathLabs

第3問

x,y,z>0x, y, z > 0 が xyz≥1xyz\ge 1 を満たすとする。次を証明せよ。 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
ステップ 2/5: 単純な下界を書き直す
前のステップ次のステップ
x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2−1xx2+y2+z2\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2-\frac1x}{x^2+y^2+z^2}
詳しい解説

前のステップの右辺の分子・分母を x3x^3 で割ると x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2−1xx2+y2+z2\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\dfrac{x^2-\frac1x}{x^2+y^2+z^2} が得られる。これは x5/x3=x2x^5/x^3=x^2、x2/x3=1/xx^2/x^3=1/x による。