MathLabs

第3問

x,y,z>0x, y, z > 0 が xyz≥1xyz\ge 1 を満たすとする。次を証明せよ。 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
ステップ 3/5: 三つの下界を足し合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三つの下界はすべて分母 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 を共有するので、巡回的に足し合わせると一つの分数にきれいにまとまる。

∑cycx5−x2x5+y2+z2 ≥ (x2+y2+z2)−(1x+1y+1z)x2+y2+z2\sum_{cyc}\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ \ge\ \frac{(x^2+y^2+z^2)-\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)}{x^2+y^2+z^2}
詳しい解説

ステップ1–2の下界を巡回置換 x→y→z→xx\to y\to z\to x について足し合わせ、三つの下界がすべて分母 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 を共有することに注意すると、問題の左辺に対するこの合成下界が得られる。