MathLabs

第3問

x,y,z>0x, y, z > 0 が xyz≥1xyz\ge 1 を満たすとする。次を証明せよ。 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
ステップ 5/5: xyz≥1xyz\ge1 を使って二つの古典的な事実をつなげる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最初の不等式は標準的な事実 ∑x2≥∑xy\sum x^2\ge\sum xy であり、二番目は xy+yz+zxxy+yz+zx を xyzxyz 倍の ∑1x\sum\frac1x に変える。xyz≥1xyz\ge1 はまさにその量を ∑1x\sum\frac1x 以上に保つために必要な仮定である。

x2+y2+z2 ≥ xy+yz+zx=xyz(1x+1y+1z) ≥ 1x+1y+1zx^2+y^2+z^2\ \ge\ xy+yz+zx = xyz\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ \ge\ \frac1x+\frac1y+\frac1z
詳しい解説

不等式 x2+y2+z2≥xy+yz+zxx^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx はすべての実数で成り立つ（12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]≥0\frac12\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right]\ge0 と同値である）。また恒等的に xy+yz+zx=xyz(1z+1x+1y)xy+yz+zx=xyz\left(\frac1z+\frac1x+\frac1y\right) であり、xyz≥1xyz\ge1 かつ 1x+1y+1z>0\frac1x+\frac1y+\frac1z>0 なので xyz(1x+1y+1z)≥1x+1y+1zxyz\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge \frac1x+\frac1y+\frac1z が成り立つ。この二つをつなげると前のステップの不等式が得られ、ステップ3により証明が完了する。等号は x=y=z=1x=y=z=1 で成立する。