第4問

無限数列

a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1.

のすべての項と互いに素であるような正の整数をすべて求めよ。

ステップ 1/5:

a_2

を使って

2

と

3

を除外する

ざっくり言うと

候補 $k$ はすべての項と互いに素でなければならず、特に最初に計算できる項とも互いに素でなければならないが、その項はすでに $2$ と $3$ の因数を含む。

a_2=2^2+3^2+6^2-1=48=2^4\cdot3

詳しい解説

$k$ をすべての $a_n$ と互いに素な正の整数とする。 $a_2=2^2+3^2+6^2-1=48=2^4\cdot3$ なので、 $k$ は $48$ と互いに素でなければならず、したがって $k$ は $2$ でも $3$ でも割り切れない。