MathLabs

第4問

無限数列 an=2n+3n+6n−1, n≥1.a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. のすべての項と互いに素であるような正の整数をすべて求めよ。
ステップ 2/5: 素数 p>3p>3 に対するフェルマーの小定理
前のステップ次のステップ
p>3 prime ⟹ 2p−1≡3p−1≡6p−1≡1(modp)p>3\ \text{prime}\ \Longrightarrow\ 2^{p-1}\equiv3^{p-1}\equiv6^{p-1}\equiv1\pmod p
詳しい解説

任意の素数 p>3p>3 について 2,3,62,3,6 のいずれも pp で割り切れないので、フェルマーの小定理より 2p−1≡12^{p-1}\equiv1、3p−1≡13^{p-1}\equiv1、6p−1≡1(modp)6^{p-1}\equiv1\pmod p が成り立つ。