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第4問

無限数列 an=2n+3n+6n−1, n≥1.a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. のすべての項と互いに素であるような正の整数をすべて求めよ。
ステップ 3/5: 指数 p−2p-2 を mod pp の逆元に変える
ap−2=2p−2+3p−2+6p−2−1≡2−1+3−1+6−1−1(modp)a_{p-2}=2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\equiv2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}-1\pmod p
詳しい解説

2p−1≡1(modp)2^{p-1}\equiv1\pmod p の両辺に 2−12^{-1} を掛けると 2p−2≡2−1(modp)2^{p-2}\equiv2^{-1}\pmod p が得られ、同様に 3p−2≡3−13^{p-2}\equiv3^{-1}、6p−2≡6−1(modp)6^{p-2}\equiv6^{-1}\pmod p となる。n=p−2n=p-2 を ana_n に代入すると上の合同式を得る。