12,13,16\frac12,\frac13,\frac1621,31,61 の和がちょうど 111 になるという小さな数の巧合こそが、あらゆる大きな素数を法として ap−2a_{p-2}ap−2 を消し去る理由である。
有理数の範囲で 12+13+16=3+2+16=1\frac12+\frac13+\frac16=\frac{3+2+1}{6}=121+31+61=63+2+1=1 であり、2⋅3⋅6=362\cdot3\cdot6=362⋅3⋅6=36 が p>3p>3p>3 と互いに素なので、pを法とする逆元についても同じ関係が成り立つ。よって前のステップより ap−2≡(2−1+3−1+6−1)−1≡1−1≡0(modp)a_{p-2}\equiv\left(2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}\right)-1\equiv1-1\equiv0\pmod pap−2≡(2−1+3−1+6−1)−1≡1−1≡0(modp)、すなわち p∣ap−2p\mid a_{p-2}p∣ap−2 である。