MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 2/7: MM は B↦DB\mapsto D、C↦AC\mapsto A を送る回転の中心である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

古典的なスパイラル相似の補題により、MM を通る二つの円は MM を中心とする一つのスパイラル相似に変換される。長さが等しい BC=DABC=DA により、このスパイラル相似は純粋な回転に格上げされる。

M is the center of the rotation sending B↦D, C↦AM\ \text{is the center of the rotation sending}\ B\mapsto D,\ C\mapsto A
詳しい解説

スパイラル相似の補題により、円 (APD)(APD) と (BPC)(BPC) が PP と MM で交わることから、MM は B↦DB\mapsto D、C↦AC\mapsto A を送るスパイラル相似の中心である（同値に、線分 BCBC を線分 DADA に送る）。BC=DABC=DA なのでこのスパイラル相似の比は 11 であり、実は MM を中心とする純粋な回転である。