MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 3/7: 同じ回転が EE を FF にも送る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ある線分を別の線分に送る回転は、各点を対応する比の距離の点に送る。比が等しい BE/BC=DF/DABE/BC=DF/DA により EE と FF は対応する組になる。

BEBC=DFDA ⟹ the same rotation sends E↦F\frac{BE}{BC}=\frac{DF}{DA}\ \Longrightarrow\ \text{the same rotation sends}\ E\mapsto F
詳しい解説

前のステップの回転は、BB から比 BE/BCBE/BC の距離にある BCBC 上の点を、DD から同じ比の距離にある DADA 上の点に送る。BE=DFBE=DF かつ BC=DABC=DA なのでその比は BE/BC=DF/DABE/BC=DF/DA であり、像はまさに FF である。したがって MM を中心とするこの一つの固定された回転が、B↦DB\mapsto D、C↦AC\mapsto A、E↦FE\mapsto F を同時に送る。