MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 4/7: MM は R,A,FR,A,F を通る円上にある
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ回転のもとで、今度は C↦AC\mapsto A、E↦FE\mapsto F という組にスパイラル相似の補題を再び適用すると、直線 CACA と EFEF が交わる点を通る新しい円上に MM が乗る。

R=EF∩AC ⟹ M∈(△RAF)R=EF\cap AC\ \Longrightarrow\ M\in(\triangle RAF)
詳しい解説

MM を中心とする固定された回転が C↦AC\mapsto A、E↦FE\mapsto F を送るので、スパイラル相似の補題（この組に適用）により MM は R=CA∩EFR=CA\cap EF と AA、FF から成る三角形の外接円上にある。したがって M∈(△RAF)M\in(\triangle RAF)。