MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 5/7: MM は Q,D,FQ,D,F を通る円上にある
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ手法をもう一方の対応する組 B↦DB\mapsto D、E↦FE\mapsto F に適用すると、MM を通る二つ目の円が得られる。

Q=BD∩EF ⟹ M∈(△QDF)Q=BD\cap EF\ \Longrightarrow\ M\in(\triangle QDF)
詳しい解説

MM を中心とするまさにその回転は B↦DB\mapsto D、E↦FE\mapsto F も送る。この組にスパイラル相似の補題を適用すると、MM は Q=BD∩EFQ=BD\cap EF と DD、FF から成る三角形の外接円上に乗る。すなわち M∈(△QDF)M\in(\triangle QDF)。