MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 6/7: 二つの円が MM を四直線のミケル点として確定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一般の位置にある四直線は、それらが作る四つの三角形の外接円すべてに共通するミケル点を常に持つ。そのうちの二つの円に乗っているだけで、それがどの点かを特定するのに十分である。

M∈(△RAF)∩(△QDF) ⟹ M is the Miquel point of lines DA,EF,BD,ACM\in(\triangle RAF)\cap(\triangle QDF)\ \Longrightarrow\ M\ \text{is the Miquel point of lines}\ DA,EF,BD,AC
詳しい解説

四直線 DA,EF,BD,ACDA,EF,BD,AC は四つの三角形——DFQDFQ、AFRAFR、APDAPD（ステップ1）、PQRPQR——を定め、古典的な定理により、それらの四つの外接円は常に一つの共通点、すなわち完全四辺形のミケル点を持つ。円 (RAF)(RAF) と (QDF)(QDF) はともに FF を通り、ステップ4–5より MM も通る。二つの異なる円は高々二点でしか交わらず、ミケル点は両方に乗っているので、MM こそそのミケル点でなければならない（FF は定義に使う頂点の一つであってミケル点ではない）。