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第6問

66 問が出題された数学コンテストにおいて、どの二問の組についても、その両方を解いた参加者が全体の 25\frac25 より多かった。さらに、66 問すべてを解いた参加者はいなかった。このとき、ちょうど 55 問を解いた参加者が少なくとも 22 人いることを示せ。
ステップ 2/6: 1515 個すべてのペア解答数を書き下す
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ti=∑1≤r<s≤5r,s≠ibrs≥2n+15,tij=1+∑m≠i,jam+∑{r,s}∩{i,j}=∅brs≥2n+15t_i=\sum_{\substack{1\le r<s\le 5\\ r,s\ne i}}b_{rs}\ge\frac{2n+1}{5},\quad t_{ij}=1+\sum_{m\ne i,j}a_m+\sum_{\{r,s\}\cap\{i,j\}=\emptyset}b_{rs}\ge\frac{2n+1}{5}
詳しい解説

1≤i≤51\le i\le5 に対し、問題 ii と問題 66 の両方を解いた人数を tit_i とすると、i∉{r,s}i\notin\{r,s\} である brsb_{rs} のみが寄与し、ti=∑r,s≠ibrst_i=\sum_{r,s\ne i}b_{rs}（66 項）となる。1≤i<j≤51\le i<j\le5 に対し、問題 ii と問題 jj の両方を解いた人数を tijt_{ij} とすると、ただ一人の 55 問解答者が 11 を寄与し、m∉{i,j}m\notin\{i,j\} の ama_m（33 項）および {i,j}\{i,j\} と交わらない brsb_{rs}（33 項）が寄与する。1515 個の数 ti,tijt_i,t_{ij} はいずれも 25n\frac25 n より真に大きい整数なので、少なくとも 2n+15\frac{2n+1}{5} 以上である。