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第6問

66 問が出題された数学コンテストにおいて、どの二問の組についても、その両方を解いた参加者が全体の 25\frac25 より多かった。さらに、66 問すべてを解いた参加者はいなかった。このとき、ちょうど 55 問を解いた参加者が少なくとも 22 人いることを示せ。
ステップ 5/6: {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} の任意の分割について法 33 で還元する
前のステップ次のステップ
tde≡1+ta+tb+tc+tab+tbc+tca(mod3)({a,b,c,d,e}={1,2,3,4,5})t_{de}\equiv 1+t_a+t_b+t_c+t_{ab}+t_{bc}+t_{ca}\pmod 3\quad(\{a,b,c,d,e\}=\{1,2,3,4,5\})
詳しい解説

ステップ4の恒等式を法 33 で還元すると t45≡1+t1+t2+t3+t12+t23+t13(mod3)t_{45}\equiv 1+t_1+t_2+t_3+t_{12}+t_{23}+t_{13}\pmod3 を得る。設定は五つの問題 1,2,3,4,51,2,3,4,5 について対称なので、{1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} を三つ組 {a,b,c}\{a,b,c\} とペア {d,e}\{d,e\} に分ける任意の分割に対して同じ合同式が成り立つ。