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第1問

ABCABC を内心 II を持つ三角形とする。三角形の内部の点 PP が ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB を満たしている。このとき AP≥AIAP \geq AI であり、等号成立は P=IP=I のときに限ることを示せ。
ステップ 1/4: 角の条件から ∠BPC\angle BPC を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの角の和 (∠PBA+∠PCA)(\angle PBA+\angle PCA) と (∠PBC+∠PCB)(\angle PBC+\angle PCB) を合わせると ∠B+∠C\angle B+\angle C になる。両者が等しいのでそれぞれ ∠B+∠C\angle B+\angle C の半分であり、これは角の二等分線が II に対して切り取る角と一致する。

∠PBC+∠PCB=∠B+∠C2 ⟹ ∠BPC=180∘−∠B+∠C2=90∘+∠A2=∠BIC\angle PBC+\angle PCB=\frac{\angle B+\angle C}{2}\ \Longrightarrow\ \angle BPC=180^\circ-\frac{\angle B+\angle C}{2}=90^\circ+\frac{\angle A}{2}=\angle BIC
詳しい解説

PP は △ABC\triangle ABC の内部にあるので、∠B=∠PBA+∠PBC\angle B=\angle PBA+\angle PBC、∠C=∠PCA+∠PCB\angle C=\angle PCA+\angle PCB。これらを足して ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB を使うと 2(∠PBC+∠PCB)=∠B+∠C2(\angle PBC+\angle PCB)=\angle B+\angle C、すなわち ∠PBC+∠PCB=12(∠B+∠C)\angle PBC+\angle PCB=\frac12(\angle B+\angle C)。△BPC\triangle BPC において ∠BPC=180∘−12(∠B+∠C)=90∘+12∠A\angle BPC=180^\circ-\frac12(\angle B+\angle C)=90^\circ+\frac12\angle A となり、これは ∠BIC\angle BIC のよく知られた値に等しい。