MathLabs

第1問

ABCABC を内心 II を持つ三角形とする。三角形の内部の点 PP が ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB を満たしている。このとき AP≥AIAP \geq AI であり、等号成立は P=IP=I のときに限ることを示せ。
ステップ 2/4: PP は △BIC\triangle BIC の外接円上にある
前のステップ次のステップ
∠BPC=∠BIC ⟹ B,P,I,C are concyclic\angle BPC=\angle BIC\ \Longrightarrow\ B,P,I,C\ \text{are concyclic}
詳しい解説

PP と II はともに直線 BCBC の同じ側（△ABC\triangle ABC の内部）にあり、ステップ1より線分 BCBC を等しい角 ∠BPC=∠BIC\angle BPC=\angle BIC で見込む。したがって PP は △BIC\triangle BIC の外接円上にある。