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第1問

ABCABC を内心 II を持つ三角形とする。三角形の内部の点 PP が ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB を満たしている。このとき AP≥AIAP \geq AI であり、等号成立は P=IP=I のときに限ることを示せ。
ステップ 3/4: 半直線 AIAI 上の傍心・内心補題の中心 MM を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

内心・傍心補題により、△BIC\triangle BIC の外接円の中心は（半直線 AIAI が △ABC\triangle ABC の外接円と交わる点である）弧 BCBC の中点 MM なので、PP と II は MM から等距離にある。

MB=MC=MI=MP,AM=AI+IMMB=MC=MI=MP,\quad AM=AI+IM
詳しい解説

半直線 AIAI が △ABC\triangle ABC の外接円と再び交わる点を MM（AA を含まない弧 BCBC の中点）とする。II は AA と MM を結ぶ線分上にあるので AM=AI+IMAM=AI+IM。内心・傍心補題により MM は △BIC\triangle BIC の外心なので MB=MC=MIMB=MC=MI であり、PP もその円上にある（ステップ2）ことから MP=MIMP=MI も成り立つ。