第1問

ABC

を内心

I

を持つ三角形とする。三角形の内部の点

P

が

\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB

を満たしている。このとき

AP \geq AI

であり、等号成立は

P=I

のときに限ることを示せ。

ステップ 4/4:

A,P,M

に三角不等式を適用する

前のステップ次のステップ

AP+PM\ge AM=AI+IM\ \Longrightarrow\ AP\ge AI\quad(\text{equality iff }P=I)

詳しい解説

$A,P,M$ に対する三角不等式より $AP+PM\ge AM=AI+IM$ 。ステップ3の $PM=IM$ を引くと $AP\ge AI$ を得る。 $AP+PM\ge AM$ で等号が成り立つのは $P$ が線分 $AM$ 上にあるときに限るが、線分 $AM$ と中心 $M$ ・半径 $MI$ の円との交点は $I$ ただ一点なので、等号成立は $P=I$ のときに限る。