第2問
を正 角形とする。 の対角線は、その両端点が の周をそれぞれ奇数個の の辺からなる二つの部分に分けるとき、良いと呼ぶ。 の辺もまた良いと呼ぶ。 が、 の内部で共有点を持たない 本の対角線によって三角形に分割されているとする。このような配置に現れ得る、二つの良い辺を持つ二等辺三角形の個数の最大値を求めよ。
ざっくり言うと
三角形が切り取る三つの周上の弧の長さの総和は なので、奇数長の弧の本数は偶数である。したがって特別な三角形は良い辺をちょうど二本もち、その二本が等しい辺である。
詳しい解説
正 角形の頂点をもつ三角形について、連続する頂点間の三つの周上の弧の長さを とする。 であり、辺が良いことと対応する弧長が奇数であることは同値なので、良い辺の本数は または である。二等辺三角形が二本の良い辺を持つなら、その二本が等しい辺でなければならない。そうでなければ第三辺は等しい辺の一方と同じ偶奇性をもち、良い辺の本数が偶数であることに反する。等しい弦と交差しないことによる標準的な議論から、二つの特別な三角形は良い辺を共有できない。