MathLabs

第3問

すべての実数 aa, bb, cc に対して不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} が成り立つような実数 MM の最小値を求めよ。
ステップ 3/8: 隣り合う二つの差にAM–GMを適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

a≤b≤ca\le b\le c より b−ab-a と c−bc-b はともに非負なので、その積は平均の二乗以下となる——基本的なAM–GMである。

∣(a−b)(b−c)∣≤((b−a)+(c−b)2)2=(c−a)24|(a-b)(b-c)|\le\left(\frac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4}
詳しい解説

非負な b−ab-a と c−bc-b にAM–GMを適用すると (b−a)(c−b)≤((b−a)+(c−b)2)2=(c−a)24(b-a)(c-b)\le\left(\frac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4} が成り立ち、(a−b)(b−c)=(b−a)(c−b)≥0(a-b)(b-c)=(b-a)(c-b)\ge0 なのでこれは ∣(a−b)(b−c)∣|(a-b)(b-c)| に等しい。等号は b−a=c−bb-a=c-b、すなわち 2b=a+c2b=a+c のときに限る。