MathLabs

第3問

すべての実数 aa, bb, cc に対して不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} が成り立つような実数 MM の最小値を求めよ。
ステップ 4/8: コーシー・シュワルツで対の評価を得る
前のステップ次のステップ
(c−a)2=[(b−a)+(c−b)]2≤2[(b−a)2+(c−b)2] ⟹ 3(c−a)2≤2[(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2](c-a)^2=[(b-a)+(c-b)]^2\le 2\left[(b-a)^2+(c-b)^2\right]\ \Longrightarrow\ 3(c-a)^2\le 2\left[(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2\right]
詳しい解説

コーシー・シュワルツ（あるいは (x+y)2≤2(x2+y2)(x+y)^2\le2(x^2+y^2)）を x=b−ax=b-a、y=c−by=c-b に用いると (c−a)2=(x+y)2≤2(x2+y2)=2[(b−a)2+(c−b)2](c-a)^2=(x+y)^2\le2(x^2+y^2)=2\left[(b-a)^2+(c-b)^2\right] が得られる。両辺に (c−a)2(c-a)^2 を加えると 3(c−a)2≤2[(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2]3(c-a)^2\le2\left[(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2\right] となり、等号はやはり b−a=c−bb-a=c-b のときである。