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第3問

すべての実数 aa, bb, cc に対して不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} が成り立つような実数 MM の最小値を求めよ。
ステップ 6/8: uu と ss を a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 に結びつける恒等式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

u+s2u+s^2 を直接展開すると、交差項 abab、bcbc、caca は差の二乗と和の二乗の間ですべて打ち消し合い、純粋に a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 の定数倍だけが残る——これにより固定された a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 という「予算」を uu と ss の間で配分し直せるのである。

u+s2=(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2+(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)u+s^2=(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)
詳しい解説

直接展開すると (b−a)2+(c−b)2+(c−a)2+(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2) が成り立つ（交差項は打ち消し合う）。すなわち u+s2=3(a2+b2+c2)u+s^2=3(a^2+b^2+c^2) であり、ここで R:=a2+b2+c2R:=a^2+b^2+c^2 はまさに元の不等式の右辺に現れる量である。