第3問

すべての実数

a

b

c

に対して不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

が成り立つような実数

M

の最小値を求めよ。

ステップ 7/8: 重み付きAM–GMで固定された予算を最良の評価に変える

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

固定された和 $u+s^2=3R$ の中で $u/3$ が3回、 $s^2$ が1回現れるので、AM–GMを $3$ 対 $1$ の重みで取ると、 $\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s$ に現れる $\left(\frac u3\right)^{3}s^2$ という累乗にちょうど一致する。

\frac{\frac u3+\frac u3+\frac u3+s^2}{4}\ge\sqrt[4]{\left(\frac u3\right)^3s^2}\ \Longrightarrow\ \left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\frac{9\sqrt2}{8}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2

詳しい解説

6の等式より和が $u+s^2=3R$ となる四つの非負数 $\frac u3$ 、 $\frac u3$ 、 $\frac u3$ 、 $s^2$ にAM–GMを適用すると、 $\frac{3\cdot\frac u3+s^2}{4}\ge\sqrt[4]{\left(\frac u3\right)^3s^2}$ より $\left(\frac u3\right)^3s^2\le\left(\frac{3R}{4}\right)^4$ が得られる。両辺に $8$ を掛けて平方根をとると、 $\left(\frac{2u}{3}\right)^3s^2=8\left(\frac u3\right)^3s^2$ は $\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\sqrt{8}\left(\frac{3R}{4}\right)^2=\frac{9\sqrt2}{8}R^2$ となる。