第3問

すべての実数

a

b

c

に対して不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

が成り立つような実数

M

の最小値を求めよ。

ステップ 8/8: 最良の定数を結論し、等号成立例を示す

前のステップ次のステップ

|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\le\frac{9\sqrt2}{32}(a^2+b^2+c^2)^2,\qquad M=\frac{9\sqrt2}{32}

詳しい解説

ステップ5と7を組み合わせると $|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|=|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\le\frac14\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\frac{9\sqrt2}{32}(a^2+b^2+c^2)^2$ となるので、 $M=\frac{9\sqrt2}{32}$ で不等式が成り立つ。等号には $2b=a+c$ （ステップ3–4）と $\frac u3=s^2$ （ステップ7）が必要であり、 $(a,b,c)=(2-3\sqrt2,\,2,\,2+3\sqrt2)$ が両方を満たし両辺が等しくなることを確かめられるので、 $\frac{9\sqrt2}{32}$ は最良であり $M=\frac{9\sqrt2}{32}$ である。