第4問

1+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}

を満たす整数の組

(x,y)

をすべて求めよ。

ステップ 7/7: 残りの解を復元する

前のステップ次のステップ

m=3\Longrightarrow x=4,\quad y=2^{3}\cdot3-1=23\Longrightarrow (x,y)=(4,\pm23)

詳しい解説

$m=3$ を $1+m=2^{x-2}(m^2-8)$ に代入すると $4=2^{x-2}$ 、従って $x=4$ である。このとき $y=2^{x-1}m-1=23$ であり、対称性 $y\mapsto-y$ から $(4,\pm23)$ を得る。ステップ2と合わせ、解は $(0,\pm2)$ と $(4,\pm23)$ の全てである。